نظرية التقدير
Section outline
-
في العديد من الدراسات و البحوث، لا يسعنا ان نتعرف على القيم الحقيقية لمؤشرات المجتمع الاحصائي الحقيقية. لذا نضطر لايجاد قيم تقريبية تمثل القيم الحقيقية لهذه المؤشرات. تسمى هذه القيم بمقدرات مؤشرات او مقدرات معالم المجتمع الاحصائي. و تسمى عملية ايجاد هذه المعالم بالتقدير.
سنتطرق من خلال هذا الفصل الى نظرية التقدير و كيفية الحصول على مقدرات المجتمع الاحصائي بطرق مختلفة.
1- خصائص هامة عن مقدر :
من اجل تقدير معلمة من معالم المجتمع الاحصائي، نحتاج إلى اختيار الإحصائية المناسبة في العينة. في كثير من الاحيان فان احسن احصائية مقدرة لمعلمة المجتمع الاحصائي تمثل ما يقابلها في العينة. كأن نقول ان مقدر متوسط المجتمع الاحصائي µ هو متوسط العينة \( \bar{X} \).غير ان هذا لا يمثل قاعدة عامة كما سنراه من خلال هذا الدرس.
1-1- المقدر غير المتحيز :تكون إحصائية معينة مقدرا غير متحيزا لمعلمة ما إذا كان توقعها الرياضي يساوي قيمة معلمة المجتمع. اي :
(الاحصائية) E= معلمة المجتمع
امثلة:
- يعتبر متوسط العينة \( \bar{X} \) مقدرا غير متحيزا لمتوسط المجتمع µ و ذلك لأن:
تعتبر الاحصائية \( s^{2} \) في المعاينة بالارجاع انها مقدر غير متحيز لـ \( \sigma^{2} \)
\( E(s^{2})=E(\sigma^{2}.\frac{n-1}{n})=\frac{n-1}{n}.E(\sigma^{2})=\sigma^{2}.\frac{n-1}{n} \neq \sigma^{2} \)
تعتبر الاحصائية \( \overset \sim{s}^{2}=\frac{n}{n-1}.s^{2} \) مقدرا غير متحيز لـ \( \sigma^{2} \) لان
\( E(\overset \sim{s}^{2})=E(s^{2}.\frac{n}{n-1})=\frac{n}{n-1}.E(s^{2})=\frac{n}{n-1}.\sigma^{2}.\frac{n-1}{n}=\sigma^{2} \)
2-1- الكفاءة :
احيانا يكون لمعلمة المجتمع عدة مقدرات غير متحيزة. غير ان افضل مقدر غير متحيز هو ذلك المقدر الذي له اصغر تباين من بين جميع المقدرات. عندئذ نقول عن هذا المقدر انه الاكثر كفاءة.
3-1-التقارب :
يكون المقدر متقاربا إذا كانت قيمته تؤول إلى قيمة معلمة المجتمع الاحصائي عندما يكون حجم العينة كبير جدا. بتعبير اخر، يكون المقدر متقاربا اذا كانت قيمة نهاية تباينه تؤول الى الصفر لما يكون حجم العينة كبير جدا.
مثال: يعتبر متوسط العينة مقدرا متقاربا لمتوسط المجتمع لأن:
\( E(\bar{X})=\mu \)
\( \underset{n \to \infty} {Lim} V(\bar{X})=0 \)1- التقدير النقطي :
عندما يتم تقدير معلمة من معالم المجتمع بالاعتماد على قيمة واحدة لاحصائية معينة، نقول عن هذا التقدير انه تقدير نقطي. فمثلا، اذا ادرنا ان نتعرف على المستوى المتوسط لطلبة المركز الجامعي لتيبازة، فاننا سنعتمد على عينة عشوائية و سنحسب المتوسط فيها. اذا تحصلنا على القيمة 12 للمتوسط فان هذه القيمة الوحيدة تمثل تقديرا نقطيا للمتوسط الحقيقي للمجتمع الاحصائي (طلبة المركز الجامعي لتيبازة).
2- التقدير بمجال الثقة :
في هذا النوع من التقدير، عوض ان نعتمد على قيمة واحدة لتقدير معلمة المجتمع الاحصائي و التي من الممكن ان تغالط صحة النتيجة[1]، فاننا نعتمد على مجال من القيم يسمى بمجال الثقة، بحيث تكون القيمة المقدرة لمعلمة المجتمع ضمن مجال الثقة. فمثلا، ادرنا ان نتعرف على المستوى المتوسط لطلبة المركز الجامعي لتيبازة، فاننا سنعتمد على عينة عشوائية و لكن لا نعتمد على المتوسط الحسابي فقط كقيمة وحيدة، و انما سنعتمد على المتوسط الحسابي و على ما يسمى بدرجة الثقة (90% ، 95% ،...) من اجل الحصول على مجال الثقة. فمثلا نقول ان المستوى المتوسط لطلبة المركز الجامعي لتيبازة يكون في المجال [10,14] بدرجة ثقة 95%. اي ان درجة الخطأ التي تجعل المتوسط خارج هذا المجال تقدر ب 5% .1-1- درجة الثقة و نسبة الخطأ:
عند الحديث عن التقدير بمجال الثقة، ينبغي الاعتماد على المنهج العلمي في ذلك من خلال الاعتماد على العشوائية و الاحتمالات. لذلك وجب علينا التعريف ببعض النقاط بخصوص هذا الشأن :
أ- درجة الثقة :
درجة الثقة او مستوى الثقة تمثل النسبة التي من اجلها يكون مقدر معلمة المجتمع الاحصائي ضمن مجال الثقة. كأن نقول درجة الثقة هي 90% او 95% او 99%.
ب- مستوى الثقة :
يمثل مستوى الثقة او نسبة الخطأ النسبة التي من اجلها يكون مقدر معلمة المجتمع الاحصائي خارج مجال الثقة. كأن نقول نسبة الخطأ هي 10% او 5% او 1%. مستوى الثقة يسمى ايضا بدرجة المعنوية او بمستوى الدلالة.
أ- معاملات الثقة :
يتم تحديد معاملات الثقة بالاعتماد على مستوى الثقة، و يتم حسابها من خلال الجداول الاحصائية للتوزيعات الاحتمالية.
مثال : نعتبر التوزيع الاحتمالي لمتغيرة عشوائية كتوزيع طبيعي معياري. من خلال الجدول الاحصائي للتوزيع الطبيعي المعياري، فان معاملات الثقة تساوي ل :
± 1.96 من أجل مستوى ثقة 95%
± 2.58 من أجل مستوى ثقة 99 % .
ب- حدود مجال الثقة :
حدود الثقة تمثل قيمتي مجال الثقة و يتم حسابها بالاعتماد على مستوى الثقة و معاملات الثقة.
1- مجال الثقة للمتوسط :
اول خطوة نقوم بها عند التقدير بمجال هو حساب المقدر النقطي اولا. لذا، فان المقدر النقطي لمتوسط المجتمع µ يتمثل في الاحصائية \( \bar{X} \).اذا كان المجتمع الاحصائي يتبع التوزيع الطبيعي، فاننا نعتمد على التوزيع الطبيعي لتحديد مجال الثقة.
يعطى مجال الثقة للمتوسط بالصيغ الاتية:
1-1- في حالة تباين المجتمع معروف :
(معاينة غير نفادية) :
\( [\bar{X}-z_{c}.\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\bar{X}+z_{c}.\frac{\sigma}{\sqrt{n}}] \)
بحيث \( z_{c} \) يمثل معامل الثقة للتوزيع الطبيعي المعياري.(معاينة نفادية) :
\( [\bar{X}-z_{c}.\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}; \bar{X}+z_{c}.\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}] \)بحيث \( z_{c} \) يمثل معامل الثقة للتوزيع الطبيعي المعياري.
1-1- في حالة تباين المجتمع مجهول :
حجم العينة n > 30 (معاينة غير نفادية) :
\( [\bar{X}-z_{c}.\frac{s}{\sqrt{n-1}}; \bar{X}+z_{c}.\frac{s}{\sqrt{n-1}}] \)
او
\( [\bar{X}-z_{c}.\frac{\overset \sim{s}}{\sqrt{n}}; \bar{X}+z_{c}.\frac{\overset \sim{s}}{\sqrt{n}} \)
لان \( \overset\sim{s}^{2}=s^{2}.\frac{n}{n-1} \)يمكننا الحصول على قيم \( z_{c} \) من خلال جدول التوزيع الطبيعي المعياري و ذلك على حسب مستوى الثقة. من خلال الجدول الاتي، سنقدم بعض القيم الشهيرة ل\( z_{c} \) و ما يقابلها من مستويات ثقة و درجات الخطأ.
مستوى الثقة \( 1-\alpha \)
0.99
0.98
0.95
0.90
0.8
0.5
درجة الخطأ α
0.01
0.02
0.05
0.10
0.2
0.5
Zc
2.58
2.326
1.96
1.645
1.282
0.674
حجم العينة n < 30 :
في حالة تباين المجتمع يكون مجهولا و حجم العينة صغير، فاننا نعتمد على توزيع Student من اجل تحديد مجال الثقة للمتوسط.
في هذه الحالة ، يعطى مجال ثقة المتوسط بالعلاقة الاتية :
\( [\bar{X}-t_{0.975}.\frac{\overset\sim{s}}{\sqrt{n}}; \bar{X}+t_{0.975}.\frac{\overset\sim{s}}{\sqrt{n}}] \)بحيث :
\( t_{0.975} \): يمثل قيمة مغامل الثقة عند درجة ثقة 95% .
التقدير بمجال الثقة للتباين
اذا اعتبرنا عينة ذات حجم n من مجتمع طبيعي، فان \( \[\frac{ns^{2}}{\sigma ^{2}}\sim\chi _{n- 1}^{2}\] \) و بشكل مكافىء \[\frac{(n-1)\tilde{s}^{2}}{\sigma ^{2}}\sim\chi _{n-1}^{2}\]
ومنه يمكن كتابة بشكل مكافىء\[\sigma^{2}\in [\frac{ns^{2}}{\chi _{1-\frac{\alpha }{2}}^{2}};\frac{ns^{2}}{\chi _{\frac{\alpha }{2}}^{2}}]\]
\[\sigma^{2}\in [\frac{(n-1)\tilde{s}^{2}}{\chi _{1-\frac{\alpha }{2}}^{2}};\frac{(n-1)\tilde{s}^{2}}{\chi _{\frac{\alpha }{2}}^{2}}]\]
-
-
-
Students mustMark as done
-
Students mustMark as done
-
Students mustMark as done
-
-