توزيع المعاينة

الدرس1 : توزيع المعاينة

مقدمة :

في الكثير من الدراسات الاستقصائية، فاننا نعتمد على العينة من اجل حساب مؤشرات احصائية تسمح لنا بتلخيص ظاهرة معينة. و على الرغم من ان هذه العينة تمثل جزءا من المجتمع الاحصائي المدروس ، الا انها قد لا تمثل افضل عينة و ان المؤشرات المحسوبة بناءا عليها قد تكون مغالطة للواقع. لذا وجب علينا التفكير في طرق تسمح لنا بالخيار المناسب لعينة الدراسة من اجل الحصول على نتائج أمثل. هذه الطرق تسمى بطرق المعاينة الاحصائية.

من خلال هذا الفصل، سنتطرق الى طرق المعاينة الاحصائية التي تسمح لنا من اختيار العينة الانسب  التي تمثل المجتمع الاحصائي احسن تمثيل و بالتالي افضل النتائج.

1-    مفاهيم إحصائية

فيما يلي سنتطرق للتعريف ببعض المفاهيم الاحصائية الهامة بالنسبة لمقياس احصاء 3 .

المجتمع والعينة :

نعني بالمجتمع الاحصائي جميع الافراد المعنيون بدراسة كعينة. فاذا اردنا القيام بدراسة حول نسبة التدخين في ولاية تيبازة فان المجتمع الاحصائي يمثل كل الافراد القاطنين بولاية تيبازة. اذا اردنا القيام بدراسة حول الاجر المتوسط للمواطن الجزائري فان المجنمع الاحصائي يمثل جميع الجزائريين المقيمين في الجزائر. اذا اردنا القيام بدراسة حول مستوى الطلبة في المركز الجامعي بتيبازة فان كل الطلبة الذين يدرسون على مستوى المركز يمثلون المجتمع الاحصائي.

و لكن، مع صعوبة استجواب  كل فرد من افراد المجتمع الاحصائي لاسباب تتعلق بالوقت و التكلفة، فانه من الافضل اختيار عينة من المجتمع الاحصائي و دراستها و بعد ذلك نعمم نتائجها على جميع افراد المجتمع الاحصائي.

قد يكون المجتمع الاحصائي محدودا او غير محدود ، اما العينة فهي دوما محدودة. نرمز في الغالب لحجم المجتمع بالحرف N، ولحجم العينة بالحرف n. و فيما يلي سنتطرق للتعريف بمختلف انواع العينات.

 العينة النفادية والعينة غير النفادية  :

العينة غير نفادية نتحصل عليها عندما يكون السحب بالإرجاع ، اما العينة النفادية  فنتحصل عليها عندما يكون السحب بدون إرجاع.

معالم المجتمع :

نقصد بمعالم المجتمع بعض المؤشرات التي تمكننا من التعرف على المجتمع فيما يخص خاصية معينة. و يعتبر متوسط المجتمع µ و انحرافه المعياري σ من اكثر المؤشرات الاكثر استعمالا.

إحصائية المعاينة :

مع صعوبة التعرف على القيم الحقيقية لمعالم المجتمع µ و σ ، فاننا نعتمد في الغالب على احصائيات تشبه هذه المعالم.  هذه الاحصائيات يتم حسابها انطلاقا من عينة الدراسة و تتمثل في المتوسط الحسابي للعينة و الانحراف المعياري لها.
نرمز لمتوسط العينة بـ

-   نرمز لمتوسط العينة بـ \( \bar{X} \)

-         نرمز لتباين العينة ب S²

-         نرمز للانحراف المعياري للعينة ب S

2-    توزيع المعابنة للمتوسطات :

فيما يلي سنتطرق للتعرف على ماهية توزيع المعاينة للمتوسطات بدءا بمتوسط توزيع المعاينة للمتوسطات ثم تباين توزيع المعاينة للمتوسطات.

أ‌-      متوسط توزيع المعاينة للمتوسطات و تباينه  :

تمرين 1: ليكن المجتمع الاحصائي المكون من: 03، 01، 08، 60، 50.

· لنعتبر السحب بالارجاع (معاينة غير نفادية) :

س1: ما هي القيمة المتوقعة لمتوسط عينة \( \bar{X} \)  حجمها 2

س2: أحسب متوسط المجتمع µ ثم قارن بين   µ و \( \bar{X} \)

س3 : احسب التباين للمجتمع الاحصائي ثم  لمتوسط توزيع المعاينة للمتوسطات .

الحل :

-     من أجل الاجابة عن السؤال س1  ، يجب حساب جميع القيم الممكنة للمتوسط \( \bar{X}_{i} \)و ذلك حسب كل عينة ممكنة. بما ان السحب بالارجاع، فان العينات الممكنة ذات الحجم  n =   2 من مجتمع حجمه 5 عددها: 5² . اي 25 عينة ممكنة. انظر الجدول 1.

الجدول 1: العينات الممكنة في سحب بالارجاع

و عليه تكون المتوسطات الممكنة للعينات كما في الجدول 2

الجدول 2 : المتوسطات الممكنة للعينة في سحب بالارجاع  \( \bar{X}_{i} \)

القيمة المتوقعة Jـ \( \bar{X}_{i} \) هي متوسط قيمها . اي :

                                 \( E(\bar{X})=\Sigma_{i}\bar{X}_{i}/25 \) = 46

-         الاجابة على س2 : حساب متوسط المجتمع:

 µ = (30 + 10 + 80 + 60 + 50)/5 = 46                            

-         الاجابة على س3 : حساب التباين و الانحراف المعياري:

·        حساب التباين و الانحراف المعياري للمجتمع الاحصائي :

\( \sigma^{2}  \)= [∑_i (x_i – µ)² ]/5 = 584

·        حساب التباين و الانحراف المعياري لمتوسط توزيع المعاينة للمتوسطات :

\( V(\bar{X}) \)= [∑_i (\( \bar{X}_{i} \)–\( \bar{X} \))² ]/25 = 292 = \( \frac{\sigma^{2}}{2} \)=\( \frac{\sigma^{2}}{n}  \)

نتيجة : في حالة السحب بالارجاع، فان متوسط المجتمع الاحصائي يساوي متوسط توزيع المعاينة للمتوسطات

و لكن تباين متوسط توزيع المعاينة للمتوسطات يساوي لتباين المجتمع الاحصائي مقسوما على حجم العينة (n).

اي ان في حالة السحب بالارجاع فان :

\( E(\bar{X})=\mu \)

  \( V(\bar{X})=\frac{\sigma^{2}}{n} \)

تمرين 2 :

ليكن المجتمع الاحصائي المكون من: 03، 01، 08، 60، 50.

· لنعتبر السحب بدون الارجاع (معاينة نفادية) :

س1: ما هي القيمة المتوقعة لمتوسط عينة\( \bar{X} \)  حجمها 2

س2: أحسب متوسط المجتمع µ ثم قارن بين µ  و \( \bar{X} \).

س3 : احسب التباين للمجتمع الاحصائي ثم  لمتوسط  توزيع المعاينة للمتوسطات .

الحل :

-      الاجابة عن السؤال س1  ، يجب حساب جميع القيم الممكنة للمتوسط \( \bar{X}_{i} \)و ذلك حسب كل عينة ممكنة. بما ان السحب بدون الارجاع، فان العينات الممكنة ذات الحجم  n = 2 من مجتمع حجمه 5 عددها يساوي للتوفيقة C²₅ . اي 10 عينات ممكنة في سحب بدون ارجاع. انظر الجدول 3.

الجدول 3: العينات الممكنة في سحب من دون ارجاع

و عليه تكون المتوسطات الممكنة للعينات كما في الجدول 4 .

الجدول 4: المتوسطات الممكنة للعينات في سحب من دون ارجاع

القيمة المتوقعة   لـ \( \bar{X}_{i} \)هي متوسط قيمها . اي :

                                 \( E(\bar{X}) \)= (∑_{i\( \bar{X}_{i} \)}) / 10 = 46

-         الاجابة عن س2 :حساب متوسط المجتمع :

µ = (30 + 10 + 80 + 60 + 50)/5 = 46                         

-         الاجابة على س3 : حساب التباين و الانحراف المعياري:

·        حساب التباين و الانحراف المعياري للمجتمع الاحصائي :

\( \sigma^{2} \)= [∑_i (x_i – µ)² ]/5 = 584

·        حساب التباين و الانحراف المعياري لمتوسط المعاينة للمتوسطات :

\( V(\bar{X}) \) = [∑_i (\( \bar{X}_{i} \) – \( \bar{X} \))² ]/10 = 219 =\( \frac{584}{2}(\frac{5-2}{5-1})=\frac{\sigma^{2}}{2}(\frac{N-n}{N-1}) \)

نتيجة : في حالة السحب بدون ارجاع، فان متوسط المجتمع الاحصائي يساوي متوسط  توزيع المعاينة للمتوسطات.

و لكن تباين توزيع المعاينة للمتوسطات يساوي لتباين المجتمع الاحصائي مقسوما على حجم العينة (n) و مضروبا في النسبة\( \frac{N-n}{N-1} \) التي تسمى معامل الإرجاع.

اي ان في حالة السحب بدون ارجاع فان :

                                                     \( E(\bar{X})=\mu \)

 \( V(\bar{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}(\frac{N-n}{N-1}) \)

ب‌-    طبيعة توزيع المعاينة للمتوسطات في معاينة غير نفادية (بالارجاع :(
اذا كان لدينا مجتمع احصائي مكون من العناصر X₁, X₂, ……, X_n بحيث كل X_i يتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط µ و تباين\( \sigma^{2} \):

\( X_{i} \sim N(\mu;\sigma^{2}) \)

فان المتوسط \( \bar{X} \) يتبع ايضا التوزيع الطبيعي بمتوسط µ و تباين   \( \frac{\sigma^{2}}{n} \) و نكتب :

\( \bar{X} \sim N (\mu; \frac{\sigma^{2}}{n}) \)

ت-   طبيعة توزيع المعاينة للمتوسطات في معاينة نفادية (دون ارجاع(
اذا كان لدينا مجتمع احصائي مكون من العناصر X₁, X₂, ……, X_n بحيث كل X_i يتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط µ و تباين \( \sigma^{2} \) 


\( X_{i} \sim N(\mu; \sigma^{2}) \)

فان  المتوسط \( \bar{X} \) يتبع ايضا التوزيع الطبيعي بمتوسط\( \mu \) و تباين \( \frac{\sigma ^{2}}{n} \frac{N-n}{N-1} \)

\( \bar{X} \sim N(\mu; \frac{\sigma^{2}}{n} \frac {N-n}{N-1}) \)

اما في حالة المعاينة النفاذية فان 

ث-       نظرية النهاية المركزية :

اذا كان لدينا مجتمع احصائي بمتوسط µ و تباين \( \sigma^{2} \)و لكنه لا يتبع التوزيع الطبيعي . و اذا كان حجم العينة كبير (n≥30) ، فان المتغيرة المعيارية المكتوبة على الشكل الاتي :

\( Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt n}} \)

تتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط يساوي لـ 0 و بتباين يساوي لـ 1 و نكتب :

\( Z \sim N(0; 1) \)

اذا كانت المعاينة نفادية (او مجتمع محدود) :

نستبدل فقط العبارة    \( \frac{\sigma}{\sqrt n} \)   ب    \( \frac{\sigma}{\sqrt n} \sqrt \frac{N-n}{N-1} \)  

3.  توزيع المعاينة للتباين:

ليكن  نفس المجتمع الاحصائي المكون من: 03، 01، 08، 60، 50.

· لنعتبر السحب بدون الارجاع (معاينة نفادية) :

س1 : احسب متوسط  توزيع المعاينة للتباينات.

س2 : قارن بين تباين المجتمع الاحصائي و متوسط توزيع المعاينة للتباينات.

س3 : ماذا تستخلص؟

-         الاجابة عن س1

\( E(s^{2})=\frac{\Sigma_{i} s_{i}^{2}}{25}=\frac{73000}{25}=292 \)

الجدول 5 : التباينات الممكنة للعينة في سحب بالارجاع \( s_{i}^{2} \)

-         الاجابة عن س2

     لتحقيق المساواة لابد من استخدام الصيغة المعدلة لـ \( s^{2} \) أي\( \overset{\sim}{s}^2=\frac{n}{n-1} s^{2} \) ومنه \( E(\overset{\sim}{s}^{2})=\frac{n}{n-1} \frac{\Sigma_{i} s_{i}^{2}}{25}=584=\sigma^{2} \) 

 نتيجة : في حالة السحب بالارجاع، فان متوسط توزيع المعاينة للتباين لا يساوي تباين المجتمع الاحصائي. و لكن متوسط توزيع المعاينة للتباين المعدل\( \overset{\sim}{s}^{2} \) يساوي تباين المجتمع الاحصائي. اي ان في حالة السحب بالارجاع فان : طبيعة توزيع المعاينة للتباين في معاينة غير نفادية (بالارجاع) :   
\( E(\overset{\sim}{s}^{2})=E(\frac{n}{n-1} s^{2})=\sigma^{2} \)
    اما في حالة المعايتة النفاذية فان \[E\left ( s^{2} \right )=\frac{n-1}{n}\frac{N}{N-1}\sigma ^{2}\]

طبيعة توزيع المعاينة للتباين في معاينة غير نفادية (بالارجاع) :

  اذا كان لدينا مجتمع احصائي يتبع التوزيع الطبيعي و قمنا بسحب عينة ذات حجم  \( n \)فان      :

\( \frac{n s^{2}}{\sigma^{2}}\sim \chi_{n-1}^{2} \)